Математические задачи в пакете MathCAD 12


Дифференцирование


Дифференцирование
ДифференцированиеОперация дифференцирования реализована в Mathcad как в численной, так и в аналитической форме и обозначается при помощи традиционного оператора, т. е. соответствующими математичес...
Аналитическое дифференцирование
3.1. Аналитическое дифференцирование Вне всякого сомнения, вы по достоинству оцените возможности символьного процессора, позволяющего с легкостью выполнять рутинные вычисления производных громоздк...
1 Аналитическое дифференцирование функции
3.1.1. Аналитическое дифференцирование функции Для того чтобы аналитически найти производную функции f (х) в Mathcad: 1. Задайте функцию f (х). 2. Введите оператор дифференцирования нажатием...
Оператор дифференцирования
Рисунок 3.1. Оператор дифференцирования...
Листинг 3 1 Пример аналитического дифференцирования
Листинг 3.1. Пример аналитического дифференцирования...
График производной функции
Рисунок 3.2. График производной функции Примечание 1Примечание 1Помните о том, что в описанном применении оператора дифференцирования его результатом является функция той же переменной х. Пример в...
2 Вычисление производной функции в точке
3.1.2. Вычисление производной функции в точке Для того чтобы рассчитать производную в точке, необходимо предварительно задать значение аргумента в этой точке (листинг 3.2, вторая строка). Результа...
Листинг 3 2 Аналитическое дифференцирование функции в точке
Листинг 3.2. Аналитическое дифференцирование функции в точке Для того чтобы продифференцировать функцию, вовсе не обязательно предварительно присваивать ей какое-либо имя, как это сделано в листин...
Листинг 3 3 Правильное и неправильное
Листинг 3.3. Правильное и неправильное использование оператора дифференцированияКак вы заметили, оператор дифференцирования, в основном, соответствует его общепринятому математическому обозначению...
3 Определение функций пользователя
3.1.3. Определение функций пользователя через оператор дифференцирования Разумеется, оператор дифференцирования, как и любой другой, можно применять для определения собственных функций пользовател...
Листинг 3 4 Определение функции
Листинг 3.4. Определение функции посредством оператора дифференцирования  ...
4 Дифференцирование при помощи меню
3.1.4. Дифференцирование при помощи меню Чтобы аналитически продифференцировать выражение по некоторой переменной, выделите в нем эту переменную и выберите команду Symbolics / Variable / Different...
Аналитическое дифференцирование по переменной
Рисунок 3.3. Аналитическое дифференцирование по переменной В результате, в следующей строке за выражением появится значение ее производной. Для того чтобы найти вторую производную, повторно примен...
Численное дифференцирование
3.2. Численное дифференцирование Вычислительный процессор Mathcad обеспечивает превосходную точность численного дифференцирования.  ...
1 Дифференцирование в точке
3.2.1. Дифференцирование в точке Для того чтобы численно продифференцировать функцию f (х) в некоторой точке, следует использовать оператор численного вывода (вместо символьного): 1. Определите т...
Листинг 3 5 Численное дифференцирование функции в точке
Листинг 3.5. Численное дифференцирование функции в точкеВНИМАНИЕ! Не забывайте предварительно определять точку, в которой производится численное дифференцирование, как это сделано во второй строке...
Ошибка в применении оператора
Рисунок 3.4. Ошибка в применении оператора дифференцирования (не задан аргумент) Примечание 1Примечание 1В Mathcad 11 и выше для ускорения и повышения точности численного дифференцирования функций...
2 Об алгоритме дифференцирования
3.2.2. Об алгоритме дифференцирования Для численного дифференцирования Mathcad применяет довольно сложный алгоритм, вычисляющий производную с колоссальной точностью до 7— 8-го знака после запятой....
Листинг 3 6 Расчет зависимости
Листинг 3.6. Расчет зависимости точности разностной формулы от шага...
График точности формулы (3 1)
Рисунок 3.5. График точности формулы (3.1) в зависимости от шага дельта (продолжение листинга 3.6) Если увеличение ошибки на правом конце графика является совершенно очевидным, поскольку, согласно...
Если производная функции в данной
Рисунок 3.6. Если производная функции в данной точке не существует, выдается сообщение об ошибке Если попробовать численно определить производную очень близко к нулю, например, при х=10-100, то, н...
Производные высших порядков
3.3. Производные высших порядков Mathcad позволяет численно определять производные высших порядков, от 3-го до 5-го включительно. Чтобы вычислить производную функции f (х) N-го порядка в точке х,...
Оператор производной высшего порядка
Рисунок 3.7. Оператор производной высшего порядка Очевидно, что "производная" при N=0 по определению равна самой функции, при N=1 получается обычная первая производная....
Листинг 3 7 демонстрирует численное
Листинг 3.7 демонстрирует численное и символьное вычисление второй производной функции в заданной точке. Обратите внимание, что, как и при вычислении обычной производной, необходимо перед оператор...
Листинг 3 7 Пример вычисления
Листинг 3.7. Пример вычисления второй производной функции в точке...
Листинг 3 8 Пример аналитического
Листинг 3.8. Пример аналитического поиска второй производной функции Примечание 1Примечание 1Убедиться в том, что символьный процессор Mathcad в последней строке листинга 3.7 дает тот же результат...
Листинг 3 9 Численное и символьное
Листинг 3.9. Численное и символьное вычисление шестой производнойЧтобы вычислить производную порядка выше 5-го численно, можно последовательно применить несколько раз оператор м-й производной (лис...
Листинг 3 10 Попытка численного
Листинг 3.10. Попытка численного поиска шестой производной функции в точке дает неправильный результат  ...
Частные производные
3.4. Частные производные С помощью обоих процессоров Mathcad можно вычислять производные функций не только одного, но и любого количества аргументов. Как известно, производные функции нескольких а...
1 Частные производные
3.4.1. Частные производные Примеры отыскания частных производных функции двух переменных приведены в листингах 3.11 и 3.12. В первой строке обоих листингов определяется сама функция, а в последующ...
Листинг 3 11 Аналитическое вычисление частных производных
Листинг 3.11. Аналитическое вычисление частных производных...
Листинг 3 12 Символьное и численное
Листинг 3.12. Символьное и численное вычисления частных производных в точке Частные производные высших порядков рассчитываются точно так же, как и обычные производные высших порядков (см. разд. 3....
Листинг 3 13 иллюстрирует расчет
Листинг 3.13 иллюстрирует расчет вторых производных функции по переменным х и у, а также смешанной производной....
Листинг 3 13 Вычисление второй частной производной
Листинг 3.13. Вычисление второй частной производнойВозможно, вы обратили внимание, что во всех трех листингах 3.11—3.13 оператор дифференцирования записан в традиционной форме частной производной...
Изменение вида оператора дифференцирования
Рисунок 3.8. Изменение вида оператора дифференцирования Для того чтобы изменить вид оператора дифференцирования на представление частной производной, следует: 1. Вызвать контекстное меню из област...
2 Примеры градиент дивергенция и ротор
3.4.2. Примеры: градиент, дивергенция и ротор Завершим разговор о частных производных несколькими примерами векторного анализа, которые нередко встречаются в вычислительной практике. Программная р...
Листинг 3 14 Вычисление градиента функции двух переменных
Листинг 3.14. Вычисление градиента функции двух переменных...
Модельная функция двух переменных
Рисунок 3.9. Модельная функция двух переменных (продолжение листинга 3.14)...
Векторное поле градиента функции
Рисунок 3.10. Векторное поле градиента функции двух переменных (продолжение листинга 3.14) Как можно убедиться, сравнив графики на Рисунок 3.9 и 3.10, математический смысл градиента состоит в зада...
Листинг 3 15 Вычисление дивергенции векторной функции
Листинг 3.15. Вычисление дивергенции векторной функцииЕсли, как принято в математике, обозначить оператор взятия градиента символом V, то дивергенцию вектор-функции можно формально определить как...
Иллюстрирует пример векторной
Рисунок 3.11 иллюстрирует пример векторной функции f (х,у) (определяемой в первой строке листинга) и вычисление ее дивергенции (которое производится аналитически в третьей строке). Обратите вниман...
Листинг 3 17 Градиент функции трех переменных
Листинг 3.17. Градиент функции трех переменных...
Листинг 3 18 Дивергенция и ротор в трехмерном пространстве
Листинг 3.18. Дивергенция и ротор в трехмерном пространстве  ...
3 Пример якобиан
3.4.3. Пример: якобиан Еще одна задача, связанная с нахождением частных производных векторной функции, заключается в вычислении якобиана (или определителя матрицы Якоби) — матрицы, составленной из...
Листинг 3 19 Вычисление якобиана
Листинг 3.19. Вычисление якобиана векторной функции векторного аргументаТот же самый якобиан можно вычислить и несколько по-другому, если определить функцию не одного векторного, а трех скалярных...
Листинг 3 20 Вычисление якобиана
Листинг 3.20. Вычисление якобиана векторной функции трех скалярных аргументов  ...
Разложение функции в ряд Тейлора
3.5. Разложение функции в ряд ТейлораЕще одна операция, тесно связанная с дифференцированием, представляет собой разложение функции в ряд Тейлора по любой переменной х в некоторой точке. Если эта...
1 Разложение в ряд при помощи меню
3.5.1. Разложение в ряд при помощи меню Чтобы разложить некоторое выражение в ряд: 1. Введите выражение. 2. Выделите значение переменной, по которой требуется получить разложение в ряд. 3. Выпо...
Аналитическое разложение выражения в ряд по переменной х
Рисунок 3.12. Аналитическое разложение выражения в ряд по переменной х 4. В появившемся диалоговом окне Expand to Series (Разложить в ряд) введите желаемый порядок аппроксимации (Order of Approxim...
2 Оператор разложения в ряд
3.5.2. Оператор разложения в ряд Для разложения в ряд альтернативным способом, с помощью оператора символьного вывода, используйте ключевое слово series, вставляя его одноименной кнопкой панели Sy...
График разложений функции в ряд
Рисунок 3.13. График разложений функции в ряд в зависимости от порядка аппроксимации (продолжение листинга 3.21) Видно, что разложение в ряд хорошо работает в окрестности точки х=0, а по мере удал...
Листинг 3 21 Разложение функций
Листинг 3.21. Разложение функций в ряд с разным порядком аппроксимации...
Листинг 3 22 Разложение функции
Листинг 3.22. Разложение функции нескольких переменных в ряд по разным переменным   ...








Начало    



Книжный магазин